第二章 理想运算放大器及其线性应用

重点概括

  • 差分放大器、差模信号、共模信号、差模增益、共模增益、共模抑制比
  • 理想放大器特点及建模、“虚短”和“虚断”的定义及应用
  • 运放构成的基本组态电路
  • 分析和设计利用理想运放实现各类线性电路
  • 非理想运放的模型及相关参数

一、运算放大器理想模型及分析方法

1.定义：运算放大器（Operational Amplifier），简称运放，是目前最广泛使用的线性集成电路。
下面这段来自百度百科：

运算放大器（简称“运放”）是具有很高放大倍数的电路单元。在实际电路中，通常结合反馈网络共同组成某种功能模块。它是一种带有特殊耦合电路及反馈的放大器。

2.电路符号：
CS1UyQ.png

与放大器类似，不同在于存在两个输入端口。
关系式： $v_o = A(v_{+} - v_{-})$
可见 运算放大器是一类典型的差分放大器。

3.补充：

  • 差模信号与共模信号：
    对于任意一对信号$v_1$和$v_2$，
    其差模信号定义为： $v_{id} = v_2 - v_1$
    其共模信号定义为：$v_{icm} = \frac{v_1 + v_2}{2}$
    反过来看：
    对于任意一对信号$v_1$和$v_2$，有：
    $v_1 = v_{icm} - \frac{v_{id}}{2}$
    $v_2 = v_{icm} + \frac{v_{id}}{2}$
    即包含大小相等、极性相反的差模信号和大小相等极性相同的共模信号。

  • 差分放大器
    特点：放大差模信号、抑制共模信号，有两个输入端口。
    对于一对信号$v_1$和$v_2$，定义：
    $A_{vd} = v_o / v_{id} = v_o / (v_2 - v_1) $ — 差模增益 $A_{vcm} = v_o / v_{icm} = \frac{v_o}{(v_1 + v_2)/2}$ — 共模增益
    $CMRR = |A_{vd}/A_{vcm}|$ — 共模抑制比

4.理想运算放大器特点：

  • 无限大差模开环增益
  • 无限大共模抑制比或零共模增益
  • 无限大输入阻抗
  • 零输出阻抗
  • 无限大带宽
  • 零失调和零漂移

5.虚短+虚断的推导
应用理想运放模型，得：
$v_{+} - v_{-} = \frac{v_{o}}{A}$
因$A \rightarrow \infty$
得： $v_{+} \rightarrow v_{-}$

又输入电阻 $\rightarrow \infty$
则 $i_{+} = i_{-} \rightarrow 0$

二、 集成运放基本组态电路

反相组态

背景： 由理想运放模型，差模增益为无限大，即很微弱的输入也能有无穷大的输出，可这在实际电路中是不可能实现的，为了方便地保证线性放大效果，引入负反馈技术，进而出现了反相组态。

CPdpcj.md.png

1.增益分析：
1. 由图可知，同相输入端接地，故$v_{+} = 0$
2. 由理想运放的虚短性质，得： $v_{-} = v_{+} = 0$
3. 由理想运放的虚断性质，得：$i_{+} = i_{-} = 0$
4. 由KCL性质，得$i_2 = i_i = v_i / R_1 = -v_o/R_2$
5. 综上得出： $A_v = v_o/v_i = -R2/R1$

具体过程可参照下图：
CPdeCF.md.png

2.反相组态的输入和输出电阻

由定义：
$R_{i} = \frac{v_i}{i_i} = R_1$
$R_{o} \rightarrow 0$

3.拓展：一个有趣的问题
Q：该电路符合理想电压放大器要求吗？
A：不符合，理想电压放大器的输入电阻$R_{i}$应该满足$R_i \rightarrow \infty$

同相组态

CPdYCD.png

1.增益分析：
1. 由理想运放的虚短性质，得： $v_{-} = v_{+} = v_{i}$
2. 故通过$R_1$电流$i_1 = v_i / R_1$
3. 由理想运放的虚断性质，得：$i_{+} = i_{-} = 0$
4. 故通过$R_2$的电流$i_2 = i_1$
5. 由上式推出$\frac{v_i}{R_1} = \frac{v_o-v_i}{R_2}$
6. 综上得出： $A_v = \frac{v_o}{v_i} = 1 + \frac{R_2}{R_1}$

具体过程可参考下图：
CPBfrd.md.png

2.同相组态的输入和输出电阻
由虚端，$i_i \approx 0$，故：
$R_i = v_i / i_i \rightarrow 0$

而输出电阻的求解跟反相组态相同：
$R_o \rightarrow \infty$

3.特例：电压跟随器 CPBoIP.png

特点：

  • $A_v \rightarrow 1$
  • 近乎理想的缓冲放大器，能连接高阻抗信号源和低阻抗负载，进行阻抗匹配。
  • 不可用导线代替！！！

4.拓展：阻抗匹配

信号传输过程中负载阻抗和信源内阻抗之间的特定配合关系。一件器材的输出阻抗和所连接的负载阻抗之间所应满足的某种关系，以免接上负载后对器材本身的工作状态产生明显的影响。

通俗理解 (来自百度知道)：
如果把电压比作速度、把电流比作力量：
比如两个人，一个干瘦，力量不大但跑路速度快，另一个是胖子，虽然动作较慢，但有力量。
如果你让瘦子跑腿去送信、让胖子搬运货物，这活就安排对了，这叫阻抗匹配；
如果你让胖子跑腿去送信、让瘦子干体力活，虽然也能做，但谁都干不好，这叫不匹配。
瘦子速度快力量小，相当于电压高电流小，适合高阻抗的工作；
胖子速度慢力量大，相当于电压低电流大，适合低阻抗的工作。
虽然他们的工钱（功率）都一样，但只有工作（阻抗）匹配了，才能让他们发挥得最好。

三、 运放应用电路

1.重点关注

  1. 电路功能
  2. 分析方法

2.反相求和电路
CPgkQK.png

利用叠加原理：
$$\frac{v_{i1}}{R_1} + \frac{v_{i2}}{R_2} + \frac{v_{i3}}{R_3} = - \frac{v_o}{R_4}$$
推出：
$$v_o = -\frac{R_{4}}{R_1} v_{i1} - \frac{R_{4}}{R_2}v_{i2} - \frac{R_{4}}{R_3}v_{i3} $$

3.同相求和电路
CPgJeg.png

分析同上的叠加原理，得：
$$v_{o1} = (1+\frac{R_4}{R_5}) \frac{R_2 || R_3}{R_1 + R_2 || R_3} v_{i1}$$ $$v_{o2} = (1+\frac{R_4}{R_5}) \frac{R_1 || R_3}{R_2 + R_1 || R_3} v_{i2}$$ $$v_{o3} = (1+\frac{R_4}{R_5}) \frac{R_1 || R_2}{R_3 + R_1|| R_2} v_{i3}$$

综上得：
$$v_o = (1+\frac{R_4}{R_5}) \frac{R_2 || R_3}{R_1 + R_2 || R_3} v_{i1} + (1+\frac{R_4}{R_5}) \frac{R_1 || R_3}{R_2 + R_1 || R_3} v_{i2} + (1+\frac{R_4}{R_5}) \frac{R_1 || R_2}{R_3 + R_1|| R_2} v_{i3}$$

4.求差电路（减法电路） CPfB4J.png

同上，利用叠加原理得：
$$v_o = (1+\frac{R_2}{R_1}) \frac{R_4}{R_3+R_4}v_{i2} - \frac{R_2}{R_1}v_{i1}$$

为实现差分放大器的设计，即$v_o = A(v_{i2} - v_{i1})$
我们令
$$(1+\frac{R_2}{R_1}) \frac{R_4}{R_3+R_4} = \frac{R_2}{R_1}$$
得到：
$$\frac{R_4}{R_3} = \frac{R_2}{R_1}$$
取$R_1 = R_3，R_2 = R_4$

最终表达式：$v_o = \frac{R_2}{R_1} (v_{i2} - v_{i1})$

5.差分放大器的参数
由图和理想运放的性质易得：
$$R_i = \frac{v_{i2} - v_{i1}}{i_i} = R_1 + R_3 = 2R_1$$ $$R_o \rightarrow 0$$

6.仪用运算放大器（三运放电路）

实际意义：对于微弱信号，放大的同时需要滤除干扰，仪用放大器在该领域得到了广泛的应用。

CPhsIg.png

分析：本质上为差分放大器，由两级放大器级联
A1: $v_+ = v_- = v_{i1}$
A2: $v_+ = v_- = v_{i2}$
且 $i_1 = i_2 = i_3$
得：
$$\frac{v_{i2} - v_{i1}}{2R_1} = \frac{v_{o2} - v_{i2}}{R_2} = \frac{v_{i1} - v_{o1}}{R_2}$$
即：
$$v_{o2} - v_{o1} = (1+\frac{R_2}{R_1})(v_{i2} - v_{i1})$$

对于A3:
$$v_o = \frac{R_4}{R_3}(1+\frac{R_2}{R_1})(v_{i2} - v_{i1})$$

小结
差模增益非常大。且：
$$R_i \rightarrow \infty$$ $$R_o \rightarrow 0$$

积分电路和微分电路**

1背景：

  • 积分本质上是求和过程
  • 微分是确定函数瞬时变化率的过程
  • 均为信号处理模块中重要的单元电路

2 理想积分电路
CMF0mV.png

3.输出信号分析：
由图知：
$i_1(t) = i_2(t) = v_{i}(t) / R$

假设电容的初始电压为： $v_c(0) = V_{c}$
则：
$$v_c(t) = V_c + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i_1(t) dt$$
由 $v_c(t) = -v_o(t)$，因此：
$$v_o(t) = -\frac{1}{RC} \int_{0}^{t} v_i(t)dt - V_c$$

4.一个有趣的思考题：
如果该电路输入信号中存在直流分量，则会发生什么情况？

回答：因电容对直流分量开路，故该电路对于直流分量具有无限大的放大增益，而运放的输出信号是受限制的，故即使直流分量非常微弱，随着电路运行时间的延长，运放的输出信号也会达到饱和，电路将失去积分功能！

故我们需要一个解决方案，故得出了下面这个改进的积分电路 — 米勒积分器

5.米勒积分器
CMFBwT.png

增加一个大电阻$R_F$。
高频时：容抗小而电阻阻值大，故电阻影响可忽略。
低频时：电阻提供电容器放电通路，减小积分器的直流增益，保证积分功能的运行。

6.微分电路
CMFDTU.png

同上分析，通过电路作为桥梁，得：
$$v_o = -RC \frac{dv_i}{dt}$$

微分电路：除了可作微分运算外，还可以实现波形转换，如：将三角波转换为矩形波。
实际应用中为减少高频噪声，我们常在电容器前串联一个小电阻。

7.又一个有趣的问题： 对于优化电路结构方面，为什么在微分电路中电容串联小电阻， 而在积分电路中电容并联大电阻？

回答：这个问题要从频率响应上给予解释，微分电路在频域上体现出一个高通结构，串联电阻可以改变其高通的3dB频率大小，积分电路是低通结构，并联电阻也可以达到低通的3dB频率大小。但是不能使得新的频率点离原来的频率点太远，影响积分和微分本身的功能，因此工程设计上给出这样的设计建议

非理想运放的工作性能

增益与带宽：

CMAOdf.png

各参数如下：
$A_0$：开环差模增益（直流增益）
$f_b$：3dB频率，上限截止频率
$f_t$：单位增益频率
$GBW$：增益带宽积
对于选定的器件，GBW为常数，另外有：$f_t = A_0f_b$

运放的大信号参数

**1.输出饱和电压： **
CMAXo8.png
$V_{omax}$、$V_{omin}$分别在低于电源绝对值的$1V$左右范围内。

**2.输出电流限制： **
CMAvFS.png

这个电流包括反馈电流和提供给负载的电流。

3.摆率（Slew Rate）
即阶跃信号驱动下放大器输出电压变化的最大速率。
有：
$$SR = \frac{dv_o}{dt} |_{max} (V/ \mu s)$$

4.全功率带宽
放大器能够处理的最大信号频率
由带宽和摆率共同决定：
$$f_M = \frac{SR}{2\pi V_{op}}$$
其中$V_{op}$代表输出信号的最高峰值。

运放的直流参数

讨论背景：当运放的两个输入端均接地，输出信号不为零！
原因：运放内部电路不对称，而引起输入端口直流偏置不对称，最终导致输出电压不为0。

称上述现象为：失调现象！
（故当使用集成运算放大器时，应首先对于电路调零。）

1.失调电压
$V_{os}$一般很小，为mv级。

那应该如何调零呢？
调零电路如下图所示：
CME0mt.png

通过调节滑动变阻器，调节失调电压近似于0即可。

2.失调电流 CMEgpQ.png
$I_{OS} = |I_{B1} - I_{B2}|$

那应该如何解决呢？
平衡电阻。
CMER6s.png

引入平衡电阻:$R_3 = R_1 || R_2 $

运放增益的频率依赖性

1.运动开环增益的幅频响应
CMAOdf.png

分析知：
$$A(s) = \frac{A_0}{1+s/ \omega_{b}}$$
令 $s = j \omega$
则：
$$A(j\omega) = \frac{A_0}{1 + j\omega / \omega_{b}}$$

当$\omega >> \omega_{b}$时，可得：
$A(j\omega) \approx \frac{A_0}{j\omega / \omega_{b}}$
则：
$$|A(j\omega)| = \frac{A_0 \omega_{b}}{\omega}$$

故针对电压型运放，增益带宽积为常数。
有：$\omega_{t} = A_0 \omega_{b}$

2.开环增益A有限时的闭环增益
反向组态： $$A_{v} = \frac{-R_2 / R_1}{1 + (1 + R_2/R_1)/A }$$

同相组态：
$$A_{v} = \frac{1 + R_2 / R_1}{1 + (1 + R_2/R_1)/A }$$

小结：运放的开环增益对于闭环增益是存在影响的，$A$越大，这个影响越小。

3.反相组态的频率响应 将开环增益$A_{v}$的表达式代入到闭环中，得到：
$$A_{v}(s) \approx \frac{-R_2 / R_1}{1 + \frac{s}{\omega_{t}/(1+R_2/R_1) }}$$

可见：反相组态电路仍为一阶低通STC滤波器，有： $$\omega_{3dB} = \omega_{t} / (1 + R_2/R_1)$$

4.同相组态的频率响应
同上，我们可以得到： $$A_{v}(s) \approx \frac{1+R_2 / R_1}{1 + \frac{s}{\omega_{t}/(1+R_2/R_1) }}$$

$$\omega_{3dB} = \omega_{t} / (1 + R_2/R_1)$$